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本研究的动机源自G. Tenenbaum专著《解析与概率数论导论》中的一个未解答的习题，涉及Gamma函数和黎曼zeta函数的复杂积分。本文首先分析了Gamma函数和黎曼zeta函数的解析性质，验证了积分的收敛条件。在研究过程中，我查阅了arXiv、ResearchGate和ScienceDirect上关于黎曼zeta函数的相关文献，并通过Mathematics Stack Exchange等平台参与讨论，逐步克服了理解上的困难。特别是从Chavan和Chaudhry等人的研究中获得启发，他们利用柯西留数定理和Cauchy模变换等方法，解决了类似结构的积分问题。在此基础上，我引入了Hurwitz zeta函数，作为简化并最终求解该积分的关键工具，从而发展出一种独特的方法。这一结果不仅填补了Tenenbaum专著的空白，还为解析数论中涉及特殊函数的积分计算提供了新的研究方向。